Teorija
Vježbe
Ispit

1. Tjedan

Relacije, Funkcije, Skupovi Brojeva i Kompleksni Brojevi

1. Relacije

1.1 Definicija relacije i njezine osnovne značajke

Relacija je pojam koji opisuje vezu između elemenata dva skupa. Formalno, relacija je podskup kartezijskog produkta dva skupa.

Kartezijev produkt skupova: Za skupove $A$ i $B$ , kartezijev produkt $A \times B$ je skup svih uređenih parova $(a, b)$ gdje je $a \in A$ i $b \in B$ .
Primjer: Neka je $A = {1, 2}$ i $B = {x, y}$ . Tada je $A \times B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}$ .
Relacija kao podskup kartezijskog produkta: Relacija $R$ između skupova $A$ i $B$ je podskup od $A \times B$ .
Primjer: Neka je $R = {(1, x), (2, y)}$ . Tada je $R$ relacija između $A$ i $B$ .

1.2 Svojstva relacija

Relacije mogu imati različita svojstva:

Refleksivnost: Relacija $R$ na skupu $A$ je refleksivna ako za svaki $a \in A$ vrijedi $(a, a) \in R$ .
Simetričnost: Relacija $R$ je simetrična ako za sve $(a, b) \in R$ vrijedi i $(b, a) \in R$ .
Antisimetričnost: Relacija $R$ je antisimetrična ako za sve $(a, b) \in R$ i $(b, a) \in R$ slijedi da je $a = b$ .
Tranzitivnost: Relacija $R$ je tranzitivna ako za sve $(a, b) \in R$ i $(b, c) \in R$ slijedi da je $(a, c) \in R$ .

Primjer: Relacija "biti manje ili jednako" ( $\leq$ ) na skupu realnih brojeva je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.

Definicije

Refleksivnost: Svaki broj je manji ili jednak samom sebi ( $a \leq a$ ).
Antisimetričnost: Ako je $a \leq b$ i $b \leq a$ , tada je $a = b$ .
Tranzitivnost: Ako je $a \leq b$ i $b \leq c$ , tada je $a \leq c$ .

1.3 Posebne vrste relacija

Relacija ekvivalencije: Relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna.
Primjer: Relacija "biti u istoj klasi" na skupu učenika.
Relacija parcijalnog poretka: Relacija koja je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.
Primjer: Relacija "biti podskup" na skupu svih podskupova nekog skupa.
Relacija potpunog poretka: Relacija parcijalnog poretka gdje su svaka dva elementa usporediva.
Primjer: Relacija $\leq$ na skupu realnih brojeva.

1.4 Predstavljanje relacija

Matrice relacija: Relacija se može predstaviti matricom gdje su retci i stupci označeni elementima skupa, a vrijednosti matrice su 1 (ako je par u relaciji) ili 0 (inače).
Grafovi relacija: Relacija se može prikazati usmjerenim grafom gdje su čvorovi elementi skupa, a strelice označavaju parove u relaciji.

1.5 Operacije s relacijama

Kompozicija relacija: Za relacije $R \subseteq A \times B$ i $S \subseteq B \times C$ , kompozicija $S \circ R$ je relacija koja sadrži parove $(a, c)$ za koje postoji $b \in B$ takav da je $(a, b) \in R$ i $(b, c) \in S$ .
Inverzna relacija: Inverzna relacija $R^{-1}$ sadrži parove $(b, a)$ za koje je $(a, b) \in R$ .

2. Funkcije

2.1 Definicija funkcije

Funkcija $f: A \to B$ je pravilo koje svakom elementu iz skupa $A$ (domena) pridružuje točno jedan element iz skupa $B$ (kodomena).

Slika funkcije: Skup svih vrijednosti koje funkcija može poprimiti, tj. $f(A) = {f(a) \mid a \in A}$ .
Domena funkcije: Skup svih ulaznih vrijednosti funkcije, tj. $\text{D}(f) = A$ .
Inverzna funkcija: Funkcija koja "vraća" izvorne vrijednosti, tj. $f^{-1}: B \to A$ .
Kompozicija funkcija: Za funkcije $f: A \to B$ i $g: B \to C$ , kompozicija $g \circ f: A \to C$ je funkcija koja prvo primjenjuje $f$ pa $g$ .

2.2 Vrste funkcija

Injektivne funkcije: Funkcija je injektivna ako različiti elementi domene imaju različite slike.
Surjektivne funkcije: Funkcija je surjektivna ako je slika funkcije jednaka kodomeni.
Bijektivne funkcije: Funkcija je bijektivna ako je i injektivna i surjektivna.

2.3 Posebne funkcije

Polinomske funkcije: Funkcije oblika $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0$ .
Eksponencijalne i logaritamske funkcije: Funkcije oblika $f(x) = a^x$ i $f(x) = \log_a(x)$ .
Trigonometric funkcije: Funkcije kao što su sinus, kosinus i tangens.

2.4 Grafovi funkcija

Graf funkcije prikazuje vezu između ulaza i izlaza funkcije. Osnovne transformacije grafova uključuju pomak, rastezanje i zrcaljenje.

2.5 Granične vrijednosti i kontinuitet funkcija

Granična vrijednost funkcije opisuje ponašanje funkcije kada se ulaz približava određenoj vrijednosti. Funkcija je kontinuirana ako nema "skokova" ili "rupa" u svom grafu.

3. Skupovi Brojeva

3.1 Prirodni brojevi ( $\mathbb{N}$ )

Skup prirodnih brojeva $\mathbb{N} = {1, 2, 3, \dots}$ .

3.2 Cijeli brojevi ( $\mathbb{Z}$ )

Skup cijelih brojeva $\mathbb{Z} = {\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots}$ .

3.3 Racionalni brojevi ( $\mathbb{Q}$ )

Skup racionalnih brojeva $\mathbb{Q} = { \frac{p}{q} \mid p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 }$ .

3.4 Iracionalni brojevi

Brojevi koji se ne mogu izraziti kao razlomak, npr. $\sqrt{2}$ .

3.5 Realni brojevi ( $\mathbb{R}$ )

Skup realnih brojeva uključuje sve racionalne i iracionalne brojeve.

3.6 Kompleksni brojevi ( $\mathbb{C}$ )

Kompleksni brojevi su oblika $z = a + bi$ , gdje su $a, b \in \mathbb{R}$ , a $i$ je imaginarna jedinica ( $i^2 = -1$ ).

4. Kompleksni Brojevi

4.1 Algebarski oblik kompleksnog broja

Kompleksni broj $z = a + bi$ može se zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti koristeći algebarska pravila.

4.2 Modul i argument kompleksnog broja

Modul: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Argument: Kut koji čini s pozitivnim dijelom realne osi.

4.3 Konjugirani kompleksni broj

Konjugirani broj od $z = a + bi$ je $\overline{z} = a - bi$ .

5. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

5.1 Prelazak iz algebarskog u trigonometrijski oblik

Kompleksni broj $z = a + bi$ može se zapisati kao $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ , gdje je $r = |z|$ , a $\varphi$ je argument.

5.2 Množenje i dijeljenje u trigonometrijskom obliku

Množenje: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$ .
Dijeljenje: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2))$ .

6. Moivreove Formule

6.1 Izvod Moivreove formule

Moivreova formula kaže da za kompleksni broj $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ vrijedi:
$z^n = r^n (\cos(n\cdot\varphi) + i \sin(n\cdot\varphi))$ .

6.2 Primjena Moivreove formule

Računanje potencija: $z^n$ se može izračunati koristeći Moivreovu formulu.
Računanje korijena: Korijeni kompleksnog broja također se mogu izračunati koristeći ovu formulu.

6.3 Trigonometrijski identiteti

Moivreova formula može se koristiti za izvođenje trigonometrijskih identiteta, kao što su formule za $\sin(n\cdot\varphi)$ i $\cos(n\cdot\varphi)$ .

1. Relacije​

1.1 Definicija relacije i njezine osnovne značajke​

1.2 Svojstva relacija​

1.3 Posebne vrste relacija​

1.4 Predstavljanje relacija​

1.5 Operacije s relacijama​

2. Funkcije​

2.1 Definicija funkcije​

2.2 Vrste funkcija​

2.3 Posebne funkcije​

2.4 Grafovi funkcija​

2.5 Granične vrijednosti i kontinuitet funkcija​

3. Skupovi Brojeva​

3.1 Prirodni brojevi (N\mathbb{N}N)​

3.2 Cijeli brojevi (Z\mathbb{Z}Z)​

3.3 Racionalni brojevi (Q\mathbb{Q}Q)​

3.4 Iracionalni brojevi​

3.5 Realni brojevi (R\mathbb{R}R)​

3.6 Kompleksni brojevi (C\mathbb{C}C)​

4. Kompleksni Brojevi​

4.1 Algebarski oblik kompleksnog broja​

4.2 Modul i argument kompleksnog broja​

4.3 Konjugirani kompleksni broj​

5. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja​

5.1 Prelazak iz algebarskog u trigonometrijski oblik​

5.2 Množenje i dijeljenje u trigonometrijskom obliku​

6. Moivreove Formule​

6.1 Izvod Moivreove formule​

6.2 Primjena Moivreove formule​

6.3 Trigonometrijski identiteti​

Što je Kartezijski produkt skupova A i B?

Koje od navedenih svojstava ima relacija ekvivalencije?

Što je inverzna relacija relacije R?

Koja od navedenih funkcija je bijektivna?

Što je modul kompleksnog broja z = a + bi?

Koja od navedenih relacija na skupu realnih brojeva je relacija parcijalnog poretka?

Što je kompozicija relacija R ⊆ A × B i S ⊆ B × C?

Koja od navedenih funkcija je polinomska?

Što je konjugirani kompleksni broj od z = a + bi?

Koja od navedenih formula predstavlja Moivreovu formulu?